傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。它的作用是将一个复杂的信号分解成若干个简单的正弦和余弦波形，从而更好地理解和分析信号的特性。
一、为什么进行傅里叶变换
进行傅里叶变换的原因是因为在实际应用中，很多信号都是由多个频率不同的正弦和余弦波形组成的。通过傅里叶变换，我们可以将这些波形分离出来，从而更好地理解信号的特性和进行信号处理。
傅里叶变换分解成正余弦的原因是因为正弦和余弦波形是傅里叶变换的基础函数。任何一个周期函数都可以表示为正弦和余弦波形的线性组合，因此傅里叶变换也可以表示为正弦和余弦波形的线性组合。这种分解方式使得傅里叶变换更加直观和易于理解。
二、傅里叶变换常用公式
1. 傅里叶变换公式：
$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$$
其中，$f(t)$为时域信号，$F(\omega)$为频域信号。
2. 傅里叶逆变换公式：
$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$
其中，$f(t)$为时域信号，$F(\omega)$为频域信号。
3. 对称性质：
$$F(-\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{j\omega t}dt=F^*(\omega)$$
其中，$F^*(\omega)$为$F(\omega)$的共轭复数。
4. 积分性质：
$$\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)d\omega=2\pi f(0)$$
其中，$f(0)$为时域信号$f(t)$在$t=0$时的值。
5. 卷积定理：
$$f(t)*g(t)\xrightarrow{\mathcal{F}}F(\omega)G(\omega)$$
其中，$*$表示卷积运算，$F(\omega)$和$G(\omega)$分别为$f(t)$和$g(t)$的傅里叶变换。
6. 移频性质：
$$f(t)e^{j\omega_0 t}\xrightarrow{\mathcal{F}}F(\omega-\omega_0)$$
其中，$\omega_0$为常数，$F(\omega)$为$f(t)$的傅里叶变换。
